Задать вопрос
avatarЮлия
Математика
+22

Найдите все значения параметра a,при каждом из которых уравнение log5-x(a-x+8)=2 имеет хотя ты один корень,принадлежащий промежутку [2;5]

14 июля 2017 г. 15:0065 Комментировать Следить
Ответы на вопрос | 1
avatarГеннадий
\log_{5-x}(a-x+8)=2

Вычислим ОДЗ уравнения 
5-x\ \textgreater \ 0    откуда   x \ \textless \ 5
5-x \neq 1    откуда   x \ne 4
a-x+8\ \textgreater \ 0

Упростим уравнение

\log_{5-x}(a-x+8)=\log_{5-x}(5-x)^2\\ \\ (a-x+8)=(5-x)^2\\ \\a-x+8=25-10x+x^2\\ \\ x^2-9x+17-a=0

Вычислим дискриминант 

D=(-9)^2-4\cdot 1\cdot(17-a)=81-68+4a=13+4a

x_{1,2}= \dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2}

Найдем параметры, при которых уравнение имеет хотя бы один корень , принадлежащий промежутку [2;5]

2 \leq \dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2} \ \textless \ 5\\ \\ \\ 4 \leq 9\pm \sqrt{13+4a} \ \textless \ 10\,\,\, |-9\\ \\ -5 \leq \pm \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1

Рассмотрим отдельно неравенства

 \sqrt{13+4a} \geq -5

В правой части уравнения - отрицательное число, а левая часть неравенства принимает неотрицательные значения, следовательно неравенство имеет решение, если 13+4a \geq 0  откуда  a \geq - \frac{13}{4}

 \sqrt{13+4a} \leq 1
Возведем обе части в квадрат

\displaystyle \left \{ {{13+4a \leq 1} \atop {13+4a \geq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq -3} \atop {a \geq - \frac{13}{4} }} \right. \Rightarrow - \frac{13}{4} \leq a \leq -3

Общее решение для неравенства -5 \leq \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1:  [- \frac{13}{4} ;-3]

Теперь найдем решение неравенства -5 \leq - \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1

Рассмотрим отдельно неравенства

-5 \leq - \sqrt{13+4a}

Возведем обе части неравенства в квадрат

\displaystyle \left \{ {{13+4a \leq 25} \atop {13+4a \geq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq 3} \atop {a \geq - \frac{13}{4} }} \right. \Rightarrow - \frac{13}{4} \leq a \leq 3

- \sqrt{13+4a} \leq 1

Левая часть неравенства принимает отрицательные значения, а правая - неотрицательное значение, значит неравенство имеет место, когда 13+4a \geq 0 откуда   a \geq - \frac{13}{4}

Общее решение для этого случая :  a \in [- \frac{13}{4} ;3]


рассмотрим случай, когда x=4, то есть

 \dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2} =4\,\, |\cdot 2\\ 9\pm \sqrt{13+4a} =8\\ \\ \pm \sqrt{13+4a}=-1\\ \\ - \sqrt{13+4a} =-1\\ \\ 13+4a=1\\ a=-3


Ответ: a \in \bigg[-\dfrac{13}{4} ;-3\bigg)\cup\bigg(-3;3\bigg]
4 года назадКомментировать