Задать вопрос
avatarНадежда
Алгебра
+16

Докажите используя метод математической индукции:
Пусть дана последовательность an, где an=n(3n+1). Докажите что сумма Sn первых членов этой последовательности может быть вычеслена по формуле Sn=n(n+1)^2

5 июля 2017 г. 18:3218 Комментировать Следить
Ответы на вопрос | 1
avatarАнатолий
Сначала убедимся что формула верна при n=1
S1=1*2^2=1*4 - верно.
предположим что формула верна при n=k
S_k=k(k+1)^2
теперь докажем что формула верна при n=k+1, тоесть докажем что:
S_{k+1}=(k+1)(k+2)^2
Имеем:
S_{k+1}=S_k+a_{k+1}
по формуле n члена последовательности находим:
a_{k+1}=(k+1)(3k+3+1)=(k+1)(3k+4)
Значит:
S_{k+1}=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k^2+k+3k+4)=
\\=(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2
значит формула верна при n=k+1, следовательно данная формула будет верной при любом натуральном n
4 года назадКомментировать