Задать вопрос
avatarДмитрий
Геометрия
+11

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях $ {\frac{AD}{DC}}$ = $ {\frac{BE}{EA}}$ = $ {\frac{1}{2}}$. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что угол AOC — прямой.

12 марта 2018 г. 21:4046 Комментировать Следить
Ответы на вопрос | 1
avatarДарья
Решение

Пусть F — такая точка на стороне BC, что $ {\frac{CF}{FB}}$ = $ {\frac{1}{2}}$. Если прямая AF пересекает отрезки BD и CE в точках M и N соответственно, то треугольник OMN — также равносторонний. Поэтому OM = MN.

Через вершину A проведём прямую, параллельную стороне BC. Пусть продолжение отрезка BD пересекает эту прямую в точке P. Из подобия треугольников PDA и BDC следует, что PA = $ {\frac{1}{2}}$BC, а из подобия треугольников PMA и BMF

$\displaystyle {\frac{AM}{MF}}$ = $\displaystyle {\frac{PA}{BF}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{2}{3}BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$.

Аналогично докажем, что $ {\frac{AN}{NF}}$ = 6. Поэтому AM : MN : NF = 3 : 3 : 1. Следовательно, OM = MN = MA. Значит, треугольник AON — прямоугольный, $ \angle$AON = 90o.

3 года назадКомментировать